როგორ დავხატოთ კვადრატული განტოლება: 10 ნაბიჯი (სურათებით)

2024 ავტორი: Robert Blare | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-02-02 02:07

როდესაც graphed, კვადრატული განტოლებები ფორმით ნაჯახი² + bx + c ან a (x - h)² + კ მიეცით გლუვი U- ფორმის ან საპირისპირო U- ფორმის მრუდი, რომელსაც ეწოდება პარაბოლა. კვადრატული განტოლების გრაფიკი არის მისი მწვერვალის, მიმართულების და, ხშირად, მისი x და y გადაკვეთის საკითხი. შედარებით მარტივი კვადრატული განტოლებების შემთხვევაში, შეიძლება ასევე საკმარისი იყოს x მნიშვნელობების დიაპაზონის ჩასმა და მრუდის გამოსახვა მიღებული წერტილების საფუძველზე. დასაწყებად იხილეთ ქვემოთ 1 ნაბიჯი.

ნაბიჯები

ნაბიჯი 1. განსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების რომელი ფორმა გაქვთ

კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიწეროს სამი განსხვავებული ფორმით: სტანდარტული ფორმა, წვერო ფორმა და კვადრატული ფორმა. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმა კვადრატული განტოლების გრაფიკად; თითოეული მათგანის გრაფიკირების პროცესი ოდნავ განსხვავებულია. თუ თქვენ აკეთებთ საშინაო დავალებას, თქვენ ჩვეულებრივ მიიღებთ პრობლემას ამ ორიდან ერთი ფორმით - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ ვერ შეძლებთ არჩევანის გაკეთებას, ამიტომ უმჯობესია ორივე გაიგოთ. კვადრატული განტოლების ორი ფორმაა:

• Სტანდარტული ფორმა.

  ამ ფორმით, კვადრატული განტოლება იწერება როგორც: f (x) = ax² + bx + c სადაც a, b და c რეალური რიცხვებია და a არ არის ნულის ტოლი.

  მაგალითად, კვადრატული განტოლების ორი სტანდარტული ფორმაა f (x) = x² + 2x + 1 და f (x) = 9x² + 10x -8.

• ვერტექსის ფორმა.

  ამ ფორმით, კვადრატული განტოლება იწერება: f (x) = a (x - h)² + k სადაც a, h და k რეალური რიცხვებია და a არ არის ნულის ტოლი. ვერტექსის ფორმა ასეა დასახელებული, რადგან h და k პირდაპირ მოგცემთ თქვენი პარაბოლის მწვერვალს (ცენტრალურ წერტილს) წერტილში (h, k).

  ორი ვერტიკალური განტოლება არის f (x) = 9 (x - 4)² + 18 და -3 (x - 5)² + 1

• ამ ტიპის ნებისმიერი განტოლების გამოსახატავად, ჩვენ ჯერ უნდა ვიპოვოთ პარაბოლას წვერო, რომელიც არის ცენტრალური წერტილი (h, k) მრუდის "წვერზე". წვერის კოორდინატები სტანდარტულ ფორმაში მოცემულია: h = -b/2a და k = f (h), ხოლო წვეროვანი ფორმით, h და k განტოლებაშია მითითებული.

ნაბიჯი 2. განსაზღვრეთ თქვენი ცვლადები

კვადრატული პრობლემის გადასაჭრელად, ცვლადები a, b და c (ან a, h და k) ჩვეულებრივ უნდა განისაზღვროს. საშუალო ალგებრის პრობლემა მოგცემთ კვადრატულ განტოლებას შევსებული ცვლადებით, ჩვეულებრივ სტანდარტული ფორმით, მაგრამ ზოგჯერ ვერტექსის სახით.

• მაგალითად, სტანდარტული ფორმის განტოლებისთვის f (x) = 2x² + 16x + 39, გვაქვს a = 2, b = 16 და c = 39.
• წვერის ფორმულისთვის განტოლება f (x) = 4 (x - 5)² + 12, გვაქვს a = 4, h = 5 და k = 12.

ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ თ

წვერო ფორმულ განტოლებებში, თქვენი მნიშვნელობა h უკვე მოცემულია, მაგრამ სტანდარტული ფორმის განტოლებებში, ის უნდა გამოითვალოს. გახსოვდეთ, რომ სტანდარტული ფორმის განტოლებებისთვის, h = -b/2a.

• ჩვენს სტანდარტულ ფორმაში მაგალითი (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). ამოვხსნით, ჩვენ ვხვდებით, რომ h = - 4.
• ჩვენს ვერტიკალურ ფორმაში მაგალითი (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ჩვენ ვიცით h = 5 ყოველგვარი მათემატიკის გარეშე.

ნაბიჯი 4. გამოთვალეთ კ

როგორც h, k უკვე ცნობილია წვეროვანი ფორმულის განტოლებებში. სტანდარტული ფორმის განტოლებებისთვის, გახსოვდეთ, რომ k = f (h). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ k, თქვენს განტოლებაში x- ის ყოველი შემთხვევის ჩანაცვლებით იმ მნიშვნელობით, რაც ახლახან იპოვეთ h- ისთვის.

• ჩვენ დავადგინეთ ჩვენი სტანდარტული ფორმის მაგალითი, რომ h = -4. K- ის საპოვნელად, ჩვენ ვხსნით ჩვენს განტოლებას ჩვენი მნიშვნელობით h– ს შემცვლელი x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ნაბიჯი 7.

• ჩვენს წვერო ფორმის მაგალითში, ჩვენ კვლავ ვიცით k- ის მნიშვნელობა (რაც არის 12) ყოველგვარი მათემატიკის გაკეთების გარეშე.

ნაბიჯი 5. დახაზეთ თქვენი მწვერვალი

თქვენი პარაბოლის მწვერვალი იქნება წერტილი (h, k) - h განსაზღვრავს x კოორდინატს, ხოლო k განსაზღვრავს y კოორდინატს. წვერო არის თქვენი პარაბოლის ცენტრალური წერტილი - ან "U" - ის ბოლოში ან თავდაყირა "U" - ის ზედა ნაწილში. მწვერვალის ცოდნა არის ზუსტი პარაბოლის გრაფიკის მნიშვნელოვანი ნაწილი - ხშირად, სასკოლო დავალებების დროს, მწვერვალის დაზუსტება იქნება კითხვის აუცილებელი ნაწილი.

• ჩვენი სტანდარტული ფორმის მაგალითში, ჩვენი წვერო იქნება (-4, 7). ამრიგად, ჩვენი პარაბოლა მიაღწევს 4 ადგილს 0 – დან მარცხნივ მარცხნივ და 7 ინტერვალი ზემოთ (0, 0). ჩვენ უნდა დავხატოთ ეს წერტილი ჩვენს გრაფიკზე, რა თქმა უნდა დავანიშნოთ კოორდინატები.
• ჩვენს წვერო ფორმის მაგალითში, ჩვენი წვერო არის (5, 12). ჩვენ უნდა დავხატოთ წერტილი 5 ადგილი მარჯვნივ და 12 სივრცე ზემოთ (0, 0).

ნაბიჯი 6. დახაზეთ პარაბოლას ღერძი (სურვილისამებრ)

პარაბოლას სიმეტრიის ღერძი არის ის ხაზი, რომელიც გადის მის შუაში და მას იდეალურად ანაწილებს ნახევარში. ამ ღერძის გასწვრივ, პარაბოლის მარცხენა მხარე ასახავს მარჯვენა მხარეს. ცულის ფორმის კვადრატებისთვის² + bx + c ან a (x - h)² + k, ღერძი არის y ღერძის პარალელური ხაზი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სრულყოფილად ვერტიკალური) და გადის წვეროზე.

ჩვენი სტანდარტული ფორმის მაგალითის შემთხვევაში, ღერძი არის y- ღერძის პარალელური ხაზი და გადის წერტილში (-4, 7). მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის პარაბოლას ნაწილი, ამ ხაზის მსუბუქად მონიშვნა თქვენს გრაფიკზე საბოლოოდ დაგეხმარებათ დაინახოთ, თუ როგორ ხვდება პარაბოლა სიმეტრიულად

ნაბიჯი 7. იპოვეთ გახსნის მიმართულება

მას შემდეგ რაც გავარკვიეთ პარაბოლას წვერო და ღერძი, ჩვენ შემდეგ უნდა ვიცოდეთ პარაბოლა იხსნება ზემოთ თუ ქვევით. საბედნიეროდ, ეს ადვილია. თუ "ა" დადებითია, პარაბოლა გაიხსნება ზემოთ, ხოლო თუ "ა" უარყოფითია, პარაბოლა ქვევით გაიხსნება (ანუ, თავდაყირა დადგება).

• ჩვენი სტანდარტული ფორმის მაგალითისთვის (f (x) = 2x² + 16x + 39), ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ გვაქვს პარაბოლა, რომელიც იხსნება ზემოთ, რადგან ჩვენს განტოლებაში a = 2 (დადებითი).
• ჩვენი ვერტექსის ფორმის მაგალითისთვის (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ ასევე გვაქვს პარაბოლა, რომელიც იხსნება ზემოთ, რადგან a = 4 (დადებითი).

ნაბიჯი 8. საჭიროების შემთხვევაში, იპოვეთ და ასახეთ x გადაკვეთები

ხშირად, სასკოლო დავალებების შესრულებისას თქვენ მოგეთხოვებათ იპოვოთ პარაბოლის x- კვეთები (რომლებიც არის ერთი ან ორი წერტილი, სადაც პარაბოლა ხვდება x ღერძს). მაშინაც კი, თუ თქვენ ვერ პოულობთ მათ, ეს ორი წერტილი შეიძლება ფასდაუდებელი იყოს ზუსტი პარაბოლის დახატვისთვის. თუმცა, ყველა პარაბოლას არ აქვს x- კვეთა. თუ თქვენს პარაბოლას აქვს წვერო იხსნება ზემოთ და აქვს წვერი x ღერძის ზემოთ, ან თუ ის იხსნება ქვევით და აქვს წვერი x ღერძის ქვემოთ, მას არ ექნება x გადაკვეთა რა წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამოიღეთ თქვენი x ინტერპრეტაცია ერთი შემდეგი მეთოდით:

• უბრალოდ დააყენე f (x) = 0 და ამოხსენი განტოლება. ეს მეთოდი შეიძლება მუშაობდეს მარტივ კვადრატულ განტოლებებზე, განსაკუთრებით ვერტიკალური ფორმით, მაგრამ მეტად რთული გახდება უფრო რთული. მაგალითისთვის იხილეთ ქვემოთ

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 და 13 არის პარაბოლის x- კვეთები.

• ფაქტორი თქვენი განტოლება. ზოგიერთი განტოლება ცულში² + bx + c ფორმა ადვილად შეიძლება ჩაითვალოს ფორმაში (dx + e) (fx + g), სადაც dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, და e × g = c ამ შემთხვევაში, თქვენი x ინტერპრეტაციები არის მნიშვნელობები x- ისთვის, რომლებიც ფრჩხილებში ადგენს რომელიმე ტერმინს = 0. მაგალითად:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • ამ შემთხვევაში, თქვენი ერთადერთი x ინტერპრეტაცია არის -1, რადგან x– ის ტოლი -1 გახდება ფრჩხილებში მოცემული ნებისმიერი ფაქტორი 0 – ის ტოლი.

• გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულა. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ თქვენი x ინტერფეისები ან განტოლება, გამოიყენეთ სპეციალური განტოლება სახელწოდებით კვადრატული ფორმულა, რომელიც შექმნილია სწორედ ამ მიზნით. თუ ეს უკვე არ არის, მიიღეთ თქვენი განტოლება ფორმაში ცული² + bx + c, შემდეგ შეაერთეთ a, b და c ფორმულაში x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ხშირად გაძლევთ ორ პასუხს x– ზე, რაც ნორმალურია - ეს ნიშნავს, რომ თქვენს პარაბოლას აქვს ორი x გადაკვეთა. ქვემოთ იხილეთ მაგალითი:

  • -5x² + 1x + 10 ჩართულია კვადრატულ ფორმულაში შემდეგნაირად:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) და (-15.18/-10). პარაბოლის x ინტერპრეტაცია არის დაახლოებით x = - 1.318 და 1.518
  • ჩვენი წინა სტანდარტული ფორმის მაგალითი, 2x² + 16x + 39 ჩართულია კვადრატულ ფორმულაში შემდეგნაირად:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • იმის გამო, რომ უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის პოვნა შეუძლებელია, ჩვენ ეს ვიცით x გადაკვეთის გარეშე არსებობს ამ კონკრეტული პარაბოლასთვის.

ნაბიჯი 9. საჭიროების შემთხვევაში, იპოვეთ და შეადგინეთ y ჩაჭრა

მიუხედავად იმისა, რომ ხშირად არ არის აუცილებელი განტოლების y ინტერპრეტაციის პოვნა (წერტილი, რომლის დროსაც პარაბოლა გადის y ღერძზე), თქვენ შეიძლება საბოლოოდ მოგეთხოვოთ, განსაკუთრებით თუ სკოლაში ხართ. ეს პროცესი საკმაოდ მარტივია - უბრალოდ დააყენეთ x = 0, შემდეგ ამოხსენით თქვენი განტოლება f (x) ან y, რაც გაძლევთ y მნიშვნელობას, რომლის დროსაც თქვენი პარაბოლა გადის y ღერძზე. X გადაკვეთისგან განსხვავებით, სტანდარტულ პარაბოლას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი y ჩაჭრა. შენიშვნა - სტანდარტული ფორმის განტოლებებისთვის, y ინტერპრეტაცია არის y = c.

• მაგალითად, ჩვენ ვიცით ჩვენი კვადრატული განტოლება 2x² + 16x + 39 აქვს y ინტერპრეტაცია y = 39, მაგრამ ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. პარაბოლის y ინტერპრეტაცია არის at y = 39.

    როგორც ზემოთ აღინიშნა, y ინტერპრეტაცია არის y = c.

• ჩვენი წვერო ქმნის განტოლებას 4 (x - 5)² + 12 -ს აქვს y ინტერპრეტაცია, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. პარაბოლას y ინტერპრეტაცია არის at y = 112.

ნაბიჯი 10. საჭიროების შემთხვევაში, ჩაწერეთ დამატებითი პუნქტები, შემდეგ კი გრაფიკი

ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ წვერო, მიმართულება, x გადაკვეთა (ები) და, შესაძლოა, y განტოლებისთვის. ამ მომენტში, თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ თქვენი პარაბოლის დახატვა იმ წერტილების გამოყენებით, რაც გაქვთ როგორც სახელმძღვანელო, ან შეგიძლიათ იპოვოთ მეტი ქულა თქვენი პარაბოლის "შესავსებად" ისე, რომ თქვენი მრუდი იყოს უფრო ზუსტი. ამის უმარტივესი გზაა უბრალოდ შეაერთოთ რამდენიმე x მნიშვნელობა თქვენი წვეროს ორივე მხარეს, შემდეგ ჩამოაყალიბოთ ეს წერტილები მიღებული y მნიშვნელობების გამოყენებით. ხშირად, მასწავლებლები მოითხოვენ თქვენგან გარკვეული რაოდენობის ქულების მიღებას თქვენი პარაბოლის დახატვამდე.

• მოდით განვიხილოთ განტოლება x² + 2x + 1. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ მისი მხოლოდ x გადაკვეთა არის x = -1. რადგან ის მხოლოდ x წერტილს ეხება ერთ წერტილში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მისი წვერო არის მისი x გადაკვეთა, რაც ნიშნავს რომ მისი წვერო არის (-1, 0). ჩვენ ამ პარაბოლას მხოლოდ ერთი წერტილი გვაქვს - არც ისე საკმარისი იმისათვის, რომ კარგი პარაბოლა დავხატოთ. მოდით ვიპოვოთ კიდევ რამდენიმე, რათა უზრუნველვყოთ ზუსტი გრაფიკის დახატვა.

  • მოდით ვიპოვოთ y მნიშვნელობები შემდეგი x მნიშვნელობებისთვის: 0, 1, -2 და -3.
  • 0 -ისთვის: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. ჩვენი წერტილი არის (0, 1).

  • 1 -ისთვის: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. ჩვენი წერტილი არის (1, 4).

  • -2 -ისთვის: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. ჩვენი წერტილი არის (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. ჩვენი წერტილი არის (-3, 4).

  • მიამაგრეთ ეს წერტილები გრაფიკზე და დახაზეთ თქვენი U- ფორმის მრუდი. გაითვალისწინეთ, რომ პარაბოლა სრულყოფილად სიმეტრიულია - როდესაც პარაბოლის ერთ მხარეს თქვენი წერტილები მთელ რიცხვებზეა, თქვენ ჩვეულებრივ შეგიძლიათ დაზოგოთ საკუთარი თავი, უბრალოდ ასახავთ მოცემულ წერტილს პარაბოლას სიმეტრიის ღერძზე, რათა იპოვოთ შესაბამისი წერტილი მეორე მხარეს. პარაბოლას.

ვიდეო - ამ სერვისის გამოყენებით, ზოგიერთი ინფორმაცია შეიძლება გაზიარდეს YouTube- თან

Რჩევები

• გაითვალისწინეთ, რომ f (x) = ax² + bx + c, თუ b ან c უდრის ნულს, ეს რიცხვები ქრება. მაგალითად, 12x² + 0x + 6 ხდება 12x² + 6 რადგან 0x არის 0.
• დამრგვალეთ რიცხვები ან გამოიყენეთ წილადები, როგორც ამას გეუბნებათ თქვენი ალგებრის მასწავლებელი. ეს დაგეხმარებათ სწორად განსაზღვროთ თქვენი კვადრატული განტოლებები.