აპოლონური შუასადენი არის ფრაკტალური გამოსახულების ტიპი, რომელიც წარმოიქმნება მუდმივი შემცირების წრეების კოლექციიდან, რომელიც შეიცავს ერთ დიდ წრეში. თითოეული წრე აპოლონურ შუასადში არის მიმდებარე წრეებთან - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აპოლონიური შუასადების წრეები კონტაქტშია უსასრულოდ მცირე წერტილებში. ბერძენი მათემატიკოსი პერგას აპოლონიუსის სახელით, ამ ტიპის ფრაკტალი შეიძლება (ხელით ან კომპიუტერით) სირთულის გონივრულ ხარისხზე დადგეს, შექმნას ლამაზი, გასაოცარი სურათი. დასაწყებად იხილეთ ქვემოთ 1 ნაბიჯი.
ნაბიჯები
მე –2 ნაწილი 1: გასაგებია ძირითადი ცნებები
სრულიად გასაგებად რომ ვთქვათ, თუ თქვენ უბრალოდ დაინტერესებული ხართ აპოლონური შუასადების დახატვით, არ არის აუცილებელი ფრაქტალის მიღმა მათემატიკის პრინციპების კვლევა. თუმცა, თუ გსურთ აპოლონური შუასადებების უფრო ღრმა გაგება, მნიშვნელოვანია გვესმოდეს რამდენიმე კონცეფციის განმარტება, რომელსაც ჩვენ გამოვიყენებთ მათ განხილვისას.
ნაბიჯი 1. განსაზღვრეთ ძირითადი ტერმინები
შემდეგი ტერმინები გამოიყენება ქვემოთ მოცემულ ინსტრუქციებში:
- აპოლონური შუასადენი: ერთ – ერთი რამოდენიმე სახელი ფრაქტალების ტიპზე, რომელიც შედგება წრეების სერიისგან, რომლებიც მოთავსებულია ერთ დიდ წრეში და ტანგენტურია ყველა ახლომდებარე. მათ ასევე უწოდებენ "სოდის წრეებს" ან "კოცნის წრეებს".
- წრის რადიუსი: მანძილი წრის ცენტრალური წერტილიდან მის კიდესთან. ჩვეულებრივ ენიჭება ცვლადი r.
- წრის გამრუდება: რადიუსის დადებითი ან უარყოფითი ინვერსია, ან ± 1/რ. მრუდი დადებითია წრის გარე გამრუდებასთან დაკავშირებით და უარყოფითია შიდა მრუდისთვის.
- ტანგენსი: ტერმინი, რომელიც გამოიყენება ხაზებზე, სიბრტყეებზე და ფორმებზე, რომლებიც კვეთენ ერთ უსასრულოდ პატარა წერტილს. აპოლონიურ შუასადებში ეს ეხება იმ ფაქტს, რომ თითოეული წრე ეხება თითოეულ ახლო წრეს მხოლოდ ერთ წერტილში. გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს კვეთა - ტანგენტური ფორმები არ ემთხვევა ერთმანეთს.
ნაბიჯი 2. გაიგეთ დეკარტეს თეორემა
დეკარტეს თეორემა არის ფორმულა, რომელიც გამოსადეგია აპოლონურ შუასადებაში წრეების ზომის გამოსათვლელად. თუ ჩვენ განვსაზღვრავთ ნებისმიერი სამი წრის მრუდი (a/b), როგორც a, b და c, შესაბამისად, თეორემა აცხადებს, რომ წრის (ან წრეების) გამრუდება სამივესთან, რომელიც ჩვენ განვსაზღვრავთ როგორც d, არის: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
ჩვენი მიზნებისათვის, ჩვენ მხოლოდ გამოვიყენებთ პასუხს, რომელსაც მივიღებთ კვადრატული ფესვის წინ პლუს ნიშნის დაყენებით (სხვა სიტყვებით,… + 2 (კვტ (…)). ჯერჯერობით საკმარისია ვიცოდეთ, რომ გამოკლება განტოლების ფორმას აქვს თავისი გამოყენება სხვა დაკავშირებულ ამოცანებში
2 ნაწილი 2: აპოლონური შუასადების აგება
აპოლონური შუასადებები იღებენ შემცირებული წრეების ულამაზეს ფრაქტალურ მოწყობას. მათემატიკურად, აპოლონურ შუასადებებს აქვთ უსასრულო სირთულე, მაგრამ, თქვენ იყენებთ კომპიუტერის ხატვის პროგრამას თუ ტრადიციულ ხატვის ინსტრუმენტებს, საბოლოოდ მიაღწევთ იმ წერტილს, რომლის დროსაც შეუძლებელია მცირე ზომის წრეების დახატვა. გაითვალისწინეთ, რომ რაც უფრო ზუსტად ხატავთ თქვენს წრეებს, მით უფრო მეტად შეძლებთ თქვენს შუასადებაში მოთავსებას.
ნაბიჯი 1. შეაგროვეთ თქვენი ციფრული ან ანალოგური ხატვის ინსტრუმენტები
ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებში ჩვენ გავაკეთებთ ჩვენს მარტივ აპოლონიურ შუასადენს. შესაძლებელია აპოლონური შუასადებების დახატვა ხელით ან კომპიუტერზე. ნებისმიერ შემთხვევაში, თქვენ გინდათ შეძლოთ სრულყოფილად მრგვალი წრეების დახატვა. ეს საკმაოდ მნიშვნელოვანია. მას შემდეგ, რაც აპოლონური შუასადების ყველა წრე მშვენივრად თანმიმდევრულია მის გვერდით წრეებთან, წრეებს, რომლებიც ოდნავ შეცვლილნი არიან, შეუძლიათ თქვენი პროდუქტის საბოლოო "გადაგდება".
- თუკი შუასადებს ხატავთ კომპიუტერზე, დაგჭირდებათ პროგრამა, რომელიც საშუალებას მოგცემთ ადვილად დახაზოთ ფიქსირებული რადიუსის წრეები ცენტრალური წერტილიდან. Gfig, გამოსახულების რედაქტირების უფასო პროგრამის GIMP– ის ვექტორ – ხატვის გაფართოება, შეიძლება გამოყენებულ იქნას, ისევე როგორც სხვა მრავალი ხატვის პროგრამა (იხილეთ მასალების განყოფილება შესაბამისი ბმულებისთვის). თქვენ ასევე დაგჭირდებათ კალკულატორის პროგრამა და ან ტექსტური დამამუშავებელი დოკუმენტი, ან ფიზიკური რვეული მოსახვევებში და რადიუსებზე ჩანაწერების ჩასატარებლად.
- შუასადენის ხელით დახატვისთვის დაგჭირდებათ კალკულატორი (შემოთავაზებულია მეცნიერულად ან გრაფიკულად), ფანქარი, კომპასი, მმართველი (სასურველია სასწორი მილიმეტრიანი ნიშნებით, გრაფიკული ქაღალდი და რვეული ჩანაწერების აღნიშვნისათვის.
ნაბიჯი 2. დაიწყეთ ერთი დიდი წრით
თქვენი პირველი ამოცანა ადვილია - უბრალოდ დახაზეთ ერთი დიდი, სრულყოფილად მრგვალი წრე. რაც უფრო დიდია წრე, მით უფრო რთული შეიძლება იყოს თქვენი შუასადენი, ასე რომ ეცადეთ გახადოთ წრე იმდენად დიდი, რამდენადაც თქვენი ქაღალდი იძლევა საშუალებას, ან იმდენად დიდი, რამდენადაც თქვენ მარტივად შეგიძლიათ ნახოთ თქვენი ფანჯრის ხატვის პროგრამა.
ნაბიჯი 3. შექმენით უფრო პატარა წრე ორიგინალის შიგნით, ერთ მხარეს ტანგენტი
შემდეგი, დახაზეთ კიდევ ერთი წრე პირველის შიგნით, რომელიც უფრო მცირეა ვიდრე ორიგინალი, მაგრამ მაინც საკმაოდ დიდი. მეორე წრის ზუსტი ზომა თქვენზეა - არ არის სწორი ზომა. თუმცა, ჩვენი მიზნებისათვის, მოდით დავხატოთ ჩვენი მეორე წრე ისე, რომ იგი მიაღწიოს ზუსტად ჩვენს დიდ გარეთა წრეზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით დავხატოთ ჩვენი მეორე წრე ისე, რომ მისი ცენტრალური წერტილი იყოს დიდი წრის რადიუსის შუა წერტილი.
დაიმახსოვრე, რომ აპოლონიურ შუასადებებში, ყველა წრე, რომელიც ეხება ერთმანეთს, ერთმანეთის ტანგენტია. თუ თქვენ იყენებთ კომპასს თქვენი წრეების ხელით დასახატად, ხელახლა შექმენით ეს ეფექტი კომპასის მკვეთრი წერტილის დაყენებით დიდი გარე წრის რადიუსის შუაგულში, დაარეგულირეთ თქვენი ფანქარი ისე, რომ ის მხოლოდ შეეხოს დიდი წრის პირას, შემდეგ დახაზეთ თქვენი პატარა შიდა წრე
ნაბიჯი 4. დახაზეთ იდენტური წრე მცირე ზომის შიდა წრის "მოპირდაპირედ"
შემდეგი, მოდით დავხატოთ კიდევ ერთი წრე ჩვენი პირველიდან. ეს წრე უნდა იყოს tangent როგორც დიდ გარე წრეზე, ასევე პატარა შიდა წრეზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ თქვენი ორი შინაგანი წრე შეხება ექნება დიდი გარე წრის ზუსტ შუაში.
ნაბიჯი 5. გამოიყენეთ დეკარტის თეორემა, რომ იპოვოთ თქვენი მომავალი წრეების ზომა
მოდით შევწყვიტოთ ხატვა ერთი წუთით. ახლა, როდესაც ჩვენ გვაქვს სამი წრე ჩვენს შუასადებაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ დეკარტეს თეორემა, რათა ვიპოვოთ მომდევნო წრის რადიუსი, რომელსაც ჩვენ დავხატავთ. გახსოვდეთ, რომ დეკარტეს თეორემა არის d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), სადაც a, b და c არის თქვენი სამი ტანგენციური წრის მრუდი, ხოლო d არის სამივესთან მრგვალი წრის გამრუდება. ასე რომ, ჩვენი მომდევნო წრის რადიუსის საპოვნელად, მოდით ვიპოვოთ თითოეული წრის მრუდი, რაც აქამდე გვაქვს, რათა ვიპოვოთ მომდევნო წრის მრუდი, შემდეგ კი მისი რადიუსზე გადავიყვანოთ.
-
მოდით განვსაზღვროთ ჩვენი გარე წრის რადიუსი, როგორც
Ნაბიჯი 1.რა იმის გამო, რომ სხვა წრეები ამ შიგნით არის, ჩვენ ვსაუბრობთ მის შიდა გამრუდებაზე (და არა მის გარე გამრუდებაზე) და, შესაბამისად, ჩვენ ვიცით, რომ მისი გამრუდება უარყოფითია. -1/r = -1/1 = -1. დიდი წრის მრუდი არის - 1.
-
მცირე წრეების სხივები დიდი წრის ნახევარია, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 1/2. ვინაიდან ეს წრეები ერთმანეთთან და გარე წვერით ეხება დიდ წრეს, ჩვენ მათ გარე მრუდობასთან გვაქვს საქმე, ამიტომ მათი მრუდები დადებითია. 1/(1/2) = 2. მცირე წრეების მრუდი ორივეა
ნაბიჯი 2..
-
ახლა ჩვენ ვიცით, რომ a = -1, b = 2 და c = 2 ჩვენი დეკარტეს თეორემის განტოლებისთვის. მოდით გადავწყვიტოთ დ:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. ჩვენი მომდევნო წრის გამრუდება არის
ნაბიჯი 3.რა მას შემდეგ, რაც 3 = 1/r, ჩვენი შემდეგი წრის რადიუსია 1/3.
ნაბიჯი 6. შექმენით თქვენი შემდეგი წრეები
გამოიყენეთ რადიუსის მნიშვნელობა, რომელიც ახლახან იპოვეთ თქვენი შემდეგი ორი წრის დასახატად. დაიმახსოვრეთ, რომ ეს იქნება წრეები იმ წრეებზე, რომელთა მრუდი თქვენ გამოიყენეთ a, b და c დეკარტეს თეორემაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი იქნება tangent როგორც ორიგინალური და მეორე წრეების. იმისათვის, რომ ეს წრეები იყოს სამივე წრეზე, თქვენ უნდა დახაზოთ ისინი ღია სივრცეებში თქვენი დიდი ორიგინალური წრის შიგნით და ზედა ნაწილში.
გახსოვდეთ, რომ ამ წრეების რადიუსი ტოლი იქნება 1/3. გაზომეთ 1/3 გარე წრის პირიდან, შემდეგ დახაზეთ თქვენი ახალი წრე. ის უნდა იყოს თანმხლები სამივე მიმდებარე წრეზე
ნაბიჯი 7. გააგრძელეთ ამ გზით, რომ გააგრძელოთ წრეების დამატება
იმის გამო, რომ ისინი ფრაქტალები არიან, აპოლონური შუასადებები უსასრულოდ რთულია. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ უფრო პატარა და პატარა წრეები თქვენი გულის შინაარსს. თქვენ შეზღუდული ხართ მხოლოდ თქვენი ინსტრუმენტების სიზუსტით (ან, თუ კომპიუტერს იყენებთ, თქვენი ნახატის პროგრამის „გასადიდებლად“). თითოეული წრე, რაც არ უნდა მცირე იყოს, უნდა იყოს ტანგენტური სამ სხვა წრეზე. თქვენი შუასადების ყოველი მომდევნო წრე რომ დახაზოთ, შეაერთეთ სამი წრის მრუდი, რომელზედაც იგი იქნება შეხება დეკარტეს თეორემაში. შემდეგ გამოიყენეთ თქვენი პასუხი (რომელიც იქნება თქვენი ახალი წრის რადიუსი) თქვენი ახალი წრის ზუსტად დასახატად.
- გაითვალისწინეთ, რომ შუასადება, რომელიც ჩვენ შევარჩიეთ, სიმეტრიულია, ამიტომ ერთი წრის რადიუსი იგივეა, რაც შესაბამისი წრე "მის მოპირდაპირედ". ამასთან, იცოდეთ, რომ ყველა აპოლონური შუასადენი არ არის სიმეტრიული.
-
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. ვთქვათ, რომ ჩვენი წრეების ბოლო ნაკრების დახატვის შემდეგ, ჩვენ გვსურს დავხატოთ წრეები, რომლებიც ტანგენდურია ჩვენს მესამე ნაკრებზე, ჩვენს მეორე ნაკრებზე და ჩვენს დიდ გარე წრეზე. ამ წრეების გამრუდება შესაბამისად 3, 2 და -1 შესაბამისად. მოდით შევაერთოთ ეს რიცხვები დეკარტეს თეორემაში, დავაყენოთ a = -1, b = 2 და c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. ჩვენ გვაქვს ორი პასუხი! თუმცა, რადგან ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენი ახალი წრე იქნება უფრო მცირე ვიდრე ნებისმიერი წრე, რომელზედაც ის არის შეხებული, მხოლოდ მრუდი
ნაბიჯი 6. (და, შესაბამისად, რადიუსი 1/6) მისცე მნიშვნელობა.
- ჩვენი მეორე პასუხი, 2, ფაქტობრივად ეხება ჰიპოთეტურ წრეს ჩვენი მეორე და მესამე წრეების tangent წერტილის მეორე მხარეს. ეს წრე არის ორივე ამ წრისა და დიდი გარე წრის მიმართ, მაგრამ ის კვეთს ჩვენს მიერ უკვე დახატულ წრეებს, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია მისი უგულებელყოფა.
ნაბიჯი 8. გამოწვევისთვის სცადეთ გააკეთოთ არასიმეტრიული აპოლონური შუასადენი თქვენი მეორე წრის ზომის შეცვლით
ყველა აპოლონური შუასადენი იწყებს ერთნაირად - დიდი გარე წრით, რომელიც მოქმედებს როგორც ფრაქტალის ზღვარი. თუმცა, არ არსებობს მიზეზი იმისა, რომ თქვენს მეორე წრეს აუცილებლად უნდა ჰქონდეს პირველის რადიუსი 1/2 - ჩვენ უბრალოდ გავაკეთეთ ამის გაკეთება ზემოთ, რადგან ის მარტივი და გასაგებია. გასართობად, სცადეთ დაიწყოთ ახალი შუასადენი სხვა ზომის მეორე წრით - ეს გამოიწვევს კვლევის საინტერესო ახალ გზებს.
