რაციონალური ფუნქცია არის განტოლება, რომელიც იღებს ფორმას y = N (x)/D (x), სადაც N და D მრავალწევრებია. ერთი ხელით ზუსტი გრაფიკის დახატვის მცდელობა შეიძლება იყოს ყოვლისმომცველი მიმოხილვა საშუალო სკოლის ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკის თემებისა ძირითადი ალგებრიდან დაწყებული დიფერენციალური გაანგარიშებით. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
ნაბიჯები
ნაბიჯი 1. იპოვეთ y ჩაჭრა
უბრალოდ დააყენეთ x = 0. ყველაფერი გარდა მუდმივი პირობებისა ქრება, ტოვებს y = 5/2. კოორდინატთა წყვილის გამოხატვა (0, 5/2) არის წერტილი გრაფიკზე. დახაზეთ ეს წერტილი.
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ჰორიზონტალური ასიმპტოტი
დიდხანს გაყავით მნიშვნელი მრიცხველში, რათა დადგინდეს y ქცევა x– ის დიდი აბსოლუტური მნიშვნელობებისთვის. ამ მაგალითში გაყოფა გვიჩვენებს, რომ y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). X– ის დიდი დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის 17/(8 x + 4) უახლოვდება ნულს და გრაფიკი უახლოვდება y = (1/2) x - (7/4) ხაზს. დაშლილი ან მსუბუქად დახაზული ხაზის გამოყენებით, გრაფიკულად ჩაწერეთ ეს ხაზი.
- თუ მრიცხველის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე, გასაყოფი არ არის გასაკეთებელი და ასიმპტოტი არის y = 0.
- თუ deg (N) = deg (D), ასიმპტოტი არის ჰორიზონტალური ხაზი წამყვანი კოეფიციენტების თანაფარდობით.
- თუ deg (N) = deg (D) + 1, ასიმპტოტი არის ხაზი, რომლის დახრილობა არის წამყვანი კოეფიციენტების თანაფარდობა.
- თუ deg (N)> deg (D) + 1, მაშინ დიდი მნიშვნელობებით | x |, y სწრაფად მიდის პოზიტიურ ან უარყოფით უსასრულობამდე, როგორც კვადრატული, კუბური ან უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრი. ამ შემთხვევაში, ალბათ არ ღირს გაყოფის კოეფიციენტის ზუსტი გრაფიკულად დაწერა.
ნაბიჯი 3. იპოვნეთ ნულები
რაციონალურ ფუნქციას აქვს ნული, როდესაც მისი მრიცხველი არის ნული, ასე რომ დააყენეთ N (x) = 0. მაგალითში, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. ამ კვადრატის დისკრიმინატი არის b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. ვინაიდან დისკრიმინატი უარყოფითია, N (x), და შესაბამისად f (x), არ აქვს რეალური ფესვები. გრაფიკი არასოდეს კვეთს x -axis. თუ რაიმე ნული იქნა ნაპოვნი, დაამატეთ ეს წერტილები გრაფიკს.
ნაბიჯი 4. იპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები
ვერტიკალური ასიმპტოტი ხდება მაშინ, როდესაც მნიშვნელი ნულის ტოლია. 4 x + 2 = 0 დაყენება იძლევა ვერტიკალურ ხაზს x = -1/2. თითოეული ვერტიკალური ასიმპტოტის გრაფიკულად აღნიშვნა მსუბუქი ან წყვეტილი ხაზით. თუ x- ის გარკვეული მნიშვნელობა ქმნის N (x) = 0 და D (x) = 0, იქ შეიძლება იყოს ან არ იყოს ვერტიკალური ასიმპტოტი. ეს იშვიათია, მაგრამ იხილეთ რჩევები, თუ როგორ უნდა გაუმკლავდეთ მას, თუ ეს მოხდება.
ნაბიჯი 5. შეხედეთ გაყოფის დანარჩენ ნაწილს მე –2 საფეხურზე
როდის არის დადებითი, უარყოფითი ან ნული? მაგალითში, ნარჩენის მრიცხველი არის 17, რომელიც ყოველთვის დადებითია. მნიშვნელი, 4 x + 2, დადებითია ვერტიკალური ასიმპტოტის მარჯვნივ და უარყოფითი მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ დიაგრამა უახლოვდება წრფივ ასიმპტოტს ზემოდან x დიდი პოზიტიური მნიშვნელობებისთვის და ქვემოდან x დიდი ნეგატიური მნიშვნელობებისთვის. ვინაიდან 17/(8 x + 4) არასოდეს შეიძლება იყოს ნული, ეს გრაფიკი არასოდეს კვეთს y = (1/2) x - (7/4) ხაზს. ნუ დაამატებთ გრაფიკს ახლავე, მაგრამ გაითვალისწინეთ ეს დასკვნები მოგვიანებით.
ნაბიჯი 6. იპოვეთ ადგილობრივი ექსტრემა
ადგილობრივი ექსტრემი შეიძლება მოხდეს, როდესაც N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. მაგალითში, N '(x) = 4 x - 6 და D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. ტერმინების გაფართოება, გაერთიანება და გაყოფა 4 ფოთოლზე x 2 + x - 4 = 0. კვადრატული ფორმულა გვიჩვენებს ფესვებს x = 3/2 და x = -5/2. (ეს განსხვავდება ზუსტი მნიშვნელობებისგან დაახლოებით 0,06 -ით, მაგრამ ჩვენი გრაფიკი არ იქნება საკმარისად ზუსტი, რომ ვიზრუნოთ დეტალების ამ დონეზე. ღირსეული რაციონალური მიახლოების არჩევა შემდგომ ნაბიჯს აადვილებს.)
ნაბიჯი 7. იპოვნეთ თითოეული ადგილობრივი ექსტრემის y -მნიშვნელობა
შეაერთეთ წინა საფეხურიდან x- მნიშვნელობები თავდაპირველ რაციონალურ ფუნქციაში, რათა იპოვოთ შესაბამისი y- ღირებულებები. მაგალითში, f (3/2) = 1/16 და f (-5/2) = -65/16. დაამატეთ ეს წერტილები, (3/2, 1/16) და (-5/2, -65/16), გრაფიკს. ვინაიდან ჩვენ დავაახლოეთ წინა ნაბიჯი, ეს არ არის ზუსტი მინიმუმი და მაქსიმუმი, მაგრამ ალბათ ახლოს არის. (ჩვენ ვიცით (3/2, 1/16) ძალიან ახლოს არის ადგილობრივ მინიმალურთან. მე –3 საფეხურიდან ჩვენ ვიცით, რომ y ყოველთვის დადებითია, როდესაც x> -1/2 და ვიპოვეთ მნიშვნელობა, როგორც 1/16, ყოველ შემთხვევაში, ამ შემთხვევაში, შეცდომა ალბათ ნაკლებია ხაზის სისქეზე.)
ნაბიჯი 8. შეაერთეთ წერტილები და შეუფერხებლად გააფართოვეთ გრაფიკი ცნობილი წერტილებიდან ასიმპტოტებამდე, რომლებიც ზრუნავენ მათ სწორი მიმართულებით მიახლოებაზე
გაუფრთხილდით, რომ არ გადაკვეთოთ x -axis გარდა იმ წერტილებისა, რომლებიც უკვე ნაპოვნია მე –3 საფეხურზე. ნუ გადაკვეთთ ჰორიზონტალურ ან ხაზოვან ასიმპტოტს, გარდა იმ ნაბიჯებისა, რომლებიც უკვე ნაპოვნია 5. საფეხურზე. უკიდურესი აღმოჩენილი წინა საფეხურზე.
ვიდეო - ამ სერვისის გამოყენებით, ზოგიერთი ინფორმაცია შეიძლება გაზიარდეს YouTube- თან
Რჩევები
- ამ ნაბიჯებიდან ზოგიერთი შეიძლება მოიცავდეს მაღალი ხარისხის მრავალწევრის ამოხსნას. თუ თქვენ ვერ პოულობთ ზუსტ გადაწყვეტილებებს ფაქტორიზაციის, ფორმულების ან სხვა საშუალებების გამოყენებით, მაშინ შეაფასეთ გადაწყვეტილებები რიცხვითი ტექნიკის გამოყენებით, როგორიცაა ნიუტონის მეთოდი.
- თუ თქვენ დაიცავთ ნაბიჯებს თანმიმდევრობით, ჩვეულებრივ არ არის საჭირო მეორე წარმოებული ტესტების ან მსგავსი პოტენციურად რთული მეთოდების გამოყენება იმის დასადგენად, არის თუ არა კრიტიკული მნიშვნელობები ადგილობრივი მაქსიმუმი, ადგილობრივი მინიმუმი, ან არცერთი. შეეცადეთ გამოიყენოთ ინფორმაცია წინა ნაბიჯებიდან და ჯერ ცოტა ლოგიკა.
- თუ თქვენ ცდილობთ ამის გაკეთებას მხოლოდ წინასწარგანზრახული მეთოდებით, შეგიძლიათ შეცვალოთ ადგილობრივი ექსტრემის პოვნაზე გადადგმული ნაბიჯები ასიმპტოტის თითოეულ წყვილს შორის რამდენიმე დამატებითი (x, y) დალაგებული წყვილის გამოთვლით. ალტერნატიულად, თუ არ გაინტერესებთ რატომ მუშაობს, არ არსებობს მიზეზი, რის გამოც პრეკალკულუსმა სტუდენტმა ვერ აიღო პოლინომის წარმოებული და ამოხსნას N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
იშვიათ შემთხვევებში მრიცხველსა და მნიშვნელს შეიძლება ჰქონდეთ საერთო არაკონსტანტური ფაქტორი. თუ თქვენ მიყვებით ნაბიჯებს, ეს გამოჩნდება როგორც ნულოვანი, ასევე ვერტიკალური ასიმპტოტი ერთსა და იმავე ადგილას. ეს შეუძლებელია და ის, რაც რეალურად ხდება, არის ერთ -ერთი შემდეგი:
- ნულს N (x) - ში უფრო მაღალი სიმრავლე აქვს ვიდრე ნულს D (x) - ში. F (x) - ის გრაფიკი ამ ეტაპზე ნულს უახლოვდება, მაგრამ იქ განუსაზღვრელია. მიუთითეთ ეს წერტილის გარშემო ღია წრით.
- ნულს N (x) და ნულს D (x) აქვს თანაბარი სიმრავლე. გრაფიკი უახლოვდება რაღაც ნულოვან წერტილს x მნიშვნელობისთვის, მაგრამ იქ განუსაზღვრელია. კვლავ მიუთითეთ ეს ღია წრით.
- ნულს N (x) - ში აქვს დაბალი სიმრავლე, ვიდრე ნულს D (x) - ში. აქ არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
